📐Математика
Восемь интерактивных работ для проектора и интерактивной доски: графики функций, геометрия треугольника, дроби, вероятность, единичная окружность, геометрический конструктор, уравнения по шагам и статистика. Всё меняется вживую — двигайте ползунки и вершины вместе с классом.
Графики функций
Введите формулу — график построится сразу. Параметры a, b, c можно использовать в любой формуле и менять ползунками. Колёсико мыши — масштаб, перетаскивание — сдвиг.
📋 Как провести на уроке
- Оставьте только a*x^2+b*x+c. Попросите класс предсказать, что будет, если увеличить a, — и проверьте ползунком.
- Меняйте c: парабола сдвигается вверх-вниз. Меняйте b: вершина «гуляет» по другой параболе.
- Подберите параметры так, чтобы дискриминант стал нулём — у параболы останется один общий с осью Ox корень.
- Добавьте второй график (например, 2x+1) и обсудите, что точки пересечения — решения системы уравнений.
- В конце покажите «необычные» функции: 1/x, tan(x), sqrt(x) — где они не определены?
❓ Вопросы классу
- Что происходит с параболой, когда a становится отрицательным?
Ответ
Ветви направлены вниз, вершина становится точкой максимума.
- Сколько корней у квадратного уравнения, если D < 0? Как это видно на графике?
Ответ
Действительных корней нет — парабола не пересекает ось Ox.
- Что будет с графиком, если к функции прибавить число c?
Ответ
График сдвинется вдоль оси Oy на c единиц (вверх при c > 0).
- Почему у y = tg x график «рвётся»?
Ответ
При x = π/2 + πk косинус равен нулю, тангенс не определён — там вертикальные асимптоты.
Треугольник: элементы и замечательные точки
Перетаскивайте вершины A, B, C. Длины, углы, площадь и радиусы окружностей пересчитываются мгновенно. Одна клетка — 1 см.
📋 Как провести на уроке
- Включите только углы. Двигайте вершины и попросите следить за суммой углов — она всегда 180°.
- Включите медианы: они всегда пересекаются в одной точке. Пусть ученики проверят отношение 2 : 1 по клеткам.
- Включите высоты и сделайте треугольник тупоугольным — ортоцентр «уходит» наружу.
- Покажите описанную окружность у прямоугольного треугольника (пресет 3-4-5): центр — середина гипотенузы.
- Проверьте формулу Герона: посчитайте площадь вручную и сравните с ответом на экране.
❓ Вопросы классу
- Где лежит центр описанной окружности у тупоугольного треугольника?
Ответ
Вне треугольника — за самой длинной стороной.
- В каком отношении точка пересечения делит медианы?
Ответ
2 : 1, считая от вершины.
- Может ли высота лежать вне треугольника?
Ответ
Да — у тупоугольного треугольника две высоты падают на продолжения сторон.
- Какая точка — центр вписанной окружности?
Ответ
Точка пересечения биссектрис; она всегда внутри треугольника.
Дроби наглядно
Изображаем дробь кругом или полоской, сравниваем две дроби и складываем их через общий знаменатель.
📋 Как провести на уроке
- Режим «Изобразить»: попросите ученика выйти к доске и закрасить 3/8 круга кликом по долям.
- Покажите неправильную дробь 11/4 — появится несколько кругов, обсудите смешанное число.
- Режим «Сравнить»: сначала пусть класс угадает, что больше, — потом смотрим на полоски и общий знаменатель.
- Режим «Сложить»: 1/3 + 1/4 — видно, почему нельзя просто сложить числители и знаменатели.
- Найдите вместе несколько равных дробей (1/2 = 2/4 = 3/6) в режиме сравнения.
❓ Вопросы классу
- Что больше: 3/4 или 5/7?
Ответ
3/4 = 21/28, 5/7 = 20/28, значит 3/4 больше.
- Почему 1/3 + 1/4 ≠ 2/7?
Ответ
Доли разного размера складывать нельзя: сначала приводим к общему знаменателю 12 — получаем 4/12 + 3/12 = 7/12.
- Как записать 11/4 смешанным числом?
Ответ
2 3/4 — два целых круга и ещё три четверти.
- Какая дробь больше: с бо́льшим знаменателем или с меньшим (при одинаковом числителе)?
Ответ
С меньшим знаменателем: доли крупнее.
Теория вероятностей: закон больших чисел
Бросаем монету или кубики сколько угодно раз. Гистограмма показывает частоты исходов, а нижний график — как частота выбранного события приближается к вероятности.
📋 Как провести на уроке
- Перед началом спросите: «Если бросить монету 10 раз, сколько выпадет орлов?» Запишите ответы на доске.
- Бросьте ×10 несколько раз (со сбросом) — результаты заметно «скачут».
- Включите автоброски и наблюдайте, как линия частоты прижимается к пунктиру вероятности.
- Перейдите к сумме двух кубиков. Пусть ученики заранее нарисуют таблицу 6×6 и найдут самую вероятную сумму.
- Сравните гистограмму с теоретическими отметками после 1000 и 10 000 бросков.
❓ Вопросы классу
- Монета 5 раз подряд упала орлом. Какова вероятность орла в шестой раз?
Ответ
По-прежнему 1/2 — монета «не помнит» прошлых бросков.
- Какая сумма двух кубиков выпадает чаще всего и почему?
Ответ
7: её дают 6 комбинаций из 36, вероятность 1/6.
- Чем частота отличается от вероятности?
Ответ
Частота — результат конкретной серии опытов, вероятность — теоретическое число, к которому частота стремится при большом числе опытов.
- Какова вероятность выбросить 6 на одном кубике?
Ответ
1/6 ≈ 0,167.
Единичная окружность: sin, cos, tg
Точка движется по окружности радиуса 1. Её абсцисса — косинус угла, ордината — синус. Справа синусоида «разворачивается» из окружности. Точку можно тянуть мышью.
📋 Как провести на уроке
- Поставьте угол 30° и покажите: синус — это высота точки, косинус — её «тень» на оси Ox.
- Пройдите по особым углам (30°, 45°, 60°) — ученики заполняют таблицу точных значений.
- Включите вращение: синусоида рисуется из движения точки. Обсудите период 360° = 2π.
- Найдите углы, где синус отрицателен. Определите знаки функций по четвертям.
- Включите линию тангенсов и приблизьтесь к 90° — отрезок уходит в бесконечность.
❓ Вопросы классу
- Чему равен sin 30°? cos 60°?
Ответ
Оба равны 1/2.
- В каких четвертях косинус отрицателен?
Ответ
Во II и III (углы от 90° до 270°).
- Почему tg 90° не существует?
Ответ
tg = sin / cos, а cos 90° = 0. Луч угла параллелен линии тангенсов и не пересекает её.
- Почему sin²α + cos²α = 1 для любого угла?
Ответ
Это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой-радиусом 1.